Question

3．如图，正方形ABCD内接于圆O：x²+y²=2，M，N分别为边AB，BC的中点，已知点P（2，0），当正方形ABCD绕圆心O旋转时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． $[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$
• C． [-2，2]
• D． $[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 由平面几何知识可得OM=ON，设M（cosα，sinα），用α表示出$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{ON}$，得到$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$关于α的函数，根据三角函数的性质得出答案．

解答 解：圆O的半径r=$\sqrt{2}$，∴正方形的边长为1，
∴OM=ON=1，设M（cosα，sinα），则N（cos（$\frac{π}{2}+α$），sin（$\frac{π}{2}+α$）），即N（-sinα，cosα），
∴$\overrightarrow{PM}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{ON}$=（-sinα，cosα），
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{ON}$=2sinα-sinαcosα+sinαcosα=2sinα，
∵-1≤sinα≤1，∴-2≤2sinα≤2，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的性质，属于中档题．