Question

15．已知O是△ABC所在平面内一点，向量$\overrightarrow{O{P_1}}、\overrightarrow{O{P_2}}、\overrightarrow{O{P_3}}$满足条件$\overrightarrow{O{P_1}}+\overrightarrow{O{P_2}}+\overrightarrow{O{P_3}}$=$\overrightarrow 0$，且$|{\overrightarrow{O{P_1}}}|=|{\overrightarrow{O{P_2}}}|=|{\overrightarrow{O{P_3}}}$|=1，则△P₁P₂P₃是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 根据向量的运算法则计算出|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{3}}$|=|$\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}$|=$\sqrt{3}$，从而判断三角形的形状．

解答 解：∵$\overrightarrow{O{P_1}}+\overrightarrow{O{P_2}}+\overrightarrow{O{P_3}}=\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\overrightarrow{O{P}_{3}}$，
∴（$\overrightarrow{O{P}_{1}}$+$\overrightarrow{O{P}_{2}}$）²=（-$\overrightarrow{O{P}_{3}}$）²，
∴${\overrightarrow{O{P}_{1}}}^{2}$+2$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+${\overrightarrow{O{P}_{2}}}^{2}$=${\overrightarrow{O{P}_{3}}}^{2}$，
∵$|{\overrightarrow{O{P_1}}}|=|{\overrightarrow{O{P_2}}}|=|{\overrightarrow{O{P_3}}}|=1$，
∴|$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$|²=|$\overrightarrow{O{P}_{3}}$|²=1，
∴$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|²=|$\overrightarrow{O{P}_{2}}$-$\overrightarrow{O{P}_{1}}$|²=${\overrightarrow{O{P}_{2}}}^{2}$-$\overrightarrow{O{P}_{1}}$•$\overrightarrow{O{P}_{2}}$+${\overrightarrow{O{P}_{1}}}^{2}$=3，
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{3}$，
同理|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{3}}$|=|$\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{3}}$|=$\sqrt{3}$，
∴△P₁P₂P₃是等边三角形，
故选：D

点评 本题考查了向量的运算，向量垂直问题，是一道中档题．