Question

（08年黄冈中学一模文）  (12分) 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=CB=a , ∠ABC=60°.平面ACEF⊥平面ABCD,且四边形ACEF是矩形,AF=a.

（I）求证：AC⊥BE；

（II）求二面角B－EF－D的余弦值.

 

Answer 1

解析：（I）∵AB∥CD,AD=DC=CB=a,∴四边形ABCD是等腰梯形.设AC交BD于N,连EN.

∵∠ABC=60°,∴∠DCB=∠ADC=120°,∠DAC=∠ACD=30°,

∴AC=,AB=2a,=90°.

又四边形ACEF是矩形，

∴AC⊥平面BCE.∴AC⊥BE.

（II）∵平面ACEF⊥平面ABCD, EC⊥AC,

∴EC⊥面 ABCD,∴EC⊥CD, EC⊥AD,又AF∥CE,

∴AF⊥AD,而AF=CE,AD=CD,

∴Rt△≌Rt△,DE=DF.

过D作DG⊥EF于G,则G为EF的中点,于是EG=.

在Rt△中,,∴.∴.

    设所求二面角大小为,则由及,得,,

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