Question

已知直线l：y=3x+3．
（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；
（2）求直线l₁：x-y-2=0关于直线l的对称直线l₂的方程；
（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；
（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；
（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．

解答： 解：（1）设点P的对称点为P'（a，b），
则

b-3 a-5 •3=-1 b+3 2 =3• a+5 2 +3

，解得：

a=-4 b=6

，
即点P'的坐标为（-4，6）；
（2）解方程组

x-y-2=0 3x-y+3=0

得

x=- 5 2 y=- 9 2

，
即两直线l与l的交点坐标为(-

5

2

，-

9

2

)
因为直线l与l₂关于直线l对称，所以直线l₂必过点(-

5

2

，-

9

2

)，
又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（-4，6），
所以直线l₂必过点P'（-4，6），这样由两点式可得：

y+ 9 2

6+ 9 2

=

x+ 5 2

-4+ 5 2

，
即7x+y+22=0；
（3）由（1）得P'（-4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，
则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，
设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，

6-6

-4-2

=

3x+3-6

x-2

，解得，x=1，
则可得N（1，6）．

点评：本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称，以及运用：求最值，考查直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．