Question

17．已知圆锥的高为h，底半径为r，用我们计算抛物线下曲边梯形面积的思路，推导圆锥体积的计算公式．
[提示：（1）用若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；
（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为$\frac{h}{n}$，底半径顺次为：$\frac{r}{n}$，$\frac{2r}{n}$，$\frac{3r}{n}$…，$\frac{（n-1）r}{n}$，r；
（3）问题归结为计算和式V（n）=$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$，当n越来越大时所趋向的值．]．

Answer 1

分析 利用极限的定义进行分割、近似代换和求极限的方法，进行推到

解答 解：（1）若干张平行于圆锥底面的平面把它切成n块厚度相等的薄片；
（2）用一系列圆柱的体积近似地代替对应的薄片，圆柱的高为$\frac{h}{n}$，底半径顺次为：$\frac{r}{n}$，$\frac{2r}{n}$，$\frac{3r}{n}$…，$\frac{（n-1）r}{n}$，r；
（3）问题归结为计算和式V（n）=$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$，当n越来越大时所趋向的值．
（对V求极限V=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{h}{n}$×（1²+2²+…+n²）×$\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{h}{n}•\frac{1}{6}n（n+1）（2n+1）•\frac{π{r}^{2}}{{n}^{2}}$
=$\frac{hπ{r}^{2}}{6}$$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2{n}^{2}+3n+1}{{n}^{2}}$
=$\frac{π{r}^{2}h}{3}$
=$\frac{1}{3}{S}_{底}h$
故圆锥的体积等于$\frac{1}{3}$的圆柱体的体积

点评 利用极限的思想对圆锥进行分割、近似代换和求极限，属于中档题．