Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0），直线l：x+y-5=0，点B（x，y）是圆C：x²+2x+y²-1=0上的动点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，则线段DE的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意作出图象，结合题意可知当直线为AD时会使得要求的距离最大，然后把问题转化为点C（-1，0）到直线x-y-2=0的距离，即可求解．

解答 解：圆C：x²+2x+y²-1=0，即（x+1）²+y²=2．
如图，过点B作直线AD的垂线，交AD于点F，则DE=BF，所以此问题转化为求圆上的点B到直线AD的距离的最大值，即圆心到直线x-y-2=0的距离加半径．
易知直线AD的方程是x-y-2=0，点C（-1，0）到直线x-y-2=0的距离是$\frac{{|{-1-2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
所以DE的最大值是$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$+$\sqrt{2}$=$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．
故选D．

点评 本题为距离的最值的求解，涉及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式以及平行线间的距离，属中档题．