Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-

2

3

，满足S_n+

1

Sn

+2=a_n（n≥2）．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）由（1）猜想S_n的表达式．

Answer 1

考点：归纳推理,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题设得S_n-1S_n+2S_n+1=0，代入计算，即可计算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）由（1）猜想S_n的表达式．

解答： 解：（1）由题设得S_n²+2S_n+1-a_nS_n=0，当n≥2（n∈N^*）时，a_n=S_n-S_n-1，
代入上式，得S_n-1S_n+2S_n+1=0．（*）
S₁=a₁=-

2

3

，
令n=2可得S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，∴S₂=-

3

4

，
同理S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

（2）由（1）猜想S_n=-

n+1

n+2

．

点评：本题考查归纳推理，考查数列递推式，考查学生的计算能力，比较基础．