Question

18．已知直线l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t为参数），圆C₁：（x-${\sqrt{3}$）²+（y-2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．
（1）求圆C₁的极坐标方程，直线l₁的极坐标方程；
（2）设l₁与C₁的交点为M，N，求△C₁MN的面积．

Answer 1

分析 （1）根据$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，求出极坐标方程即可；（2）求出$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，从而求出三角形的面积即可．

解答 解：（1）因为$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，将其代入C₁展开整理得：
${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0$，
∴圆C₁的极坐标方程为：${ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0$，
l₁消参得$tanθ=\sqrt{3}⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R），
∴直线l₁的极坐标方程为：$⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
（2）$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\{ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0\end{array}\right.$
⇒${ρ^3}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，
∴${S_{△{C_1}MN}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题．