Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R），则下面的结论：
①该函数是奇函数；      ②该函数值域为（-1，1）；
③任取x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0； ④f（x）=x有三个根．
其中正确结论的序号为①②③．

Answer 1

分析 由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．

解答 解：①f（-x）=$\frac{-x}{1+|-x|}$=-f（x），∴函数是奇函数，正确
②当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$∈（0，1）
由①知当x＜0时，f（x）∈（-1，0），x=0时，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正确；
③则当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，正确
④由③知f（x）的图象与y=x只有（0，0）这一个交点．不正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．