Question

19．在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，AB=4，BC=2，∠BCD=60°，且PD⊥底面ABCD，点E是AB的中点，点F是PC上一点．
（1）若F是PC的中点，证明EF∥平面PAD；
（2）若EF⊥CD，求PF：FC的值．

Answer 1

分析 （1）取CD中点G，连结EG、FG，由已知得EG∥AD，FG∥PD，由此能证明EF∥平面PAD．
（2）过F作FG⊥CD，交DC于G，连结FG，由三垂线定理得EG⊥CD，由此能求出PF：FC=DG：GC，从而能求出结果．

解答 （1）证明：取CD中点G，连结EG、FG，
∵底面ABCD是平行四边形，点E是AB的中点，F是PC的中点，
∴EG∥AD，FG∥PD，
∵AD∩PD=D，EG∩FG=G，
AD?平面APD，PD?平面APD，EG?平面EFG，FG?平面EFG，
∴平面APD∥平面EFG，
∵EF?平面EFG，∴EF∥平面PAD．
（2）解：过F作FG⊥CD，交DC于G，连结FG，
∵底面ABCD是平行四边形，AB=4，BC=2，∠BCD=60°，
且PD⊥底面ABCD，点E是AB的中点，点F是PC上一点，EF⊥CD，
∴EG⊥CD，
过D作DH⊥AB，交AD于H，则AH=$\frac{1}{2}AD$=1，∴DG=HE=1，
∵DG：GC=1：3，
∵PD⊥DC，∴PD∥FG，
∴PF：FC=DG：GC=1：3．

点评 本题考查线面平行的证明，考查两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．