Question

已知数列{b_n}的前n项和为S_n，b₁=1且点（n，S_n+n+2）在函数f（x）=log₂x-1的反函数y=f^-1（x）的图象上．若数列{a_n}满足a₁=1，．
（Ⅰ）求b_n；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由y=log₂x-1，可得x=2^y+1，故反函数为f^-1（x）=2^x+1，所以有S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，再由前n项和与通项的关系求得b_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根据，可得，从而有，所以，从而有，变形可得结论．
（Ⅲ）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）知
==
=
===2（）再放缩求解．
解答：解：（Ⅰ）令y=log₂x-1，则x=2^y+1，故反函数为f^-1（x）=2^x+1，
∴S_n+n+2=2ⁿ⁺¹，则S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，b₁=1，（2分）
n≥2时，S_n-1=2ⁿ-n-1，∴S_n-S_n-1=2ⁿ-1，即b_n=2ⁿ-1（n≥2），b₁=1满足该式，故b_n=2ⁿ-1．（4分）
（Ⅱ）证明：∵，
∴，，
∴，从而，
∴．（8分）
（Ⅲ）证明；b₁=1，b₂=3，a₁=1，a₂=3，
当n=1时，左边==右边．（9分）
当n≥2时，由（Ⅱ）知
==
=
==．（11分）
而．
当k≥2时，=
∴
=，
∴．（14分）
点评：本题主要考查数列与函数，不等式的综合运用，主要涉及了求反函数，数列前n项和与通项的关系以及放缩法，裂项法等．