Question

已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5．
求：
（1）以1，a，b为前三项的等差数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且其通项bn=

1

anan+1

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意

2a=1+b (a+2)2=3(b+5)

，可求得a，b，从而可求得1，a，b为前三项的等差数列为1，4，7，继而可求得a_n；
（2）2）由裂项法可求得b_n=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），再用累加法可求得其前n项和T_n．

解答：解：（1）由题意得：

2a=1+b (a+2)2=3(b+5)

，解得a=4或-2（舍去），
∴a=4，b=7．
∴以1，a，b为前三项的等差数列为1，4，7，公差d=4-1=3，
∴a_n=3n-2．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

）
=

1

3

（1-

1

3n+1

）
=

n

3n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式与数列求和，着重考查等差数列的通项公式的引用与裂项法求和，属于中档题．