题目内容
已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1且点（n，Sn+n+2）在函数f（x）=log2x-1的反函数y=f-1（x）的图象上．若数列{an}满足a1=1，an=bn(| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
（Ⅰ）求bn；
（Ⅱ）求证：
| an+1 |
| an+1 |
| bn |
| bn+1 |
（Ⅲ）求证：(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 10 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）由y=log2x-1，可得x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，所以有Sn=2n+1-n-2，b1=1，再由前n项和与通项的关系求得bn=2n-1．
（Ⅱ）根据an=bn(
+
++
)(n≥2，n∈N*)，可得
=
+
++
，从而有
=
+
++
+
，所以
-
=
，从而有
=
+
=
，变形可得结论．
（Ⅲ）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）知(1+
)(1+
)(1+
)••(1+
)
=
•
•
••
=
•
•
••
•an+1
=
•
•
••
•an+1
=
•
•an+1=2•
=2(
+
++
+
)=2（1+
++
）再放缩求解．
（Ⅱ）根据an=bn(
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn+1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn+1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn |
（Ⅲ）注意讨论，当n=1时成立，当n≥2时，由（Ⅱ）知(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
=
| a1+1 |
| a1 |
| a2+1 |
| a2 |
| a3+1 |
| a3 |
| an+1 |
| an |
| a1+1 |
| a1a2 |
| a2+1 |
| a3 |
| a3+1 |
| a4 |
| an+1 |
| an+1 |
=
| 2 |
| 3 |
| b2 |
| b3 |
| b3 |
| b4 |
| bn |
| bn+1 |
=
| 2 |
| 3 |
| b2 |
| bn+1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
解答：解：（Ⅰ）令y=log2x-1，则x=2y+1，故反函数为f-1（x）=2x+1，
∴Sn+n+2=2n+1，则Sn=2n+1-n-2，b1=1，（2分）
n≥2时，Sn-1=2n-n-1，∴Sn-Sn-1=2n-1，即bn=2n-1（n≥2），b1=1满足该式，故bn=2n-1．（4分）
（Ⅱ）证明：∵an=bn(
+
++
)(n≥2，n∈N*)，
∴
=
+
++
，
=
+
++
+
，
∴
-
=
，从而
=
+
=
，
∴
=
(n≥2，n∈N*)．（8分）
（Ⅲ）证明；b1=1，b2=3，a1=1，a2=3，
当n=1时，左边=1+
=2＜
=右边．（9分）
当n≥2时，由（Ⅱ）知(1+
)(1+
)(1+
)••(1+
)
=
•
•
••
=
•
•
••
•an+1
=
•
•
••
•an+1
=
•
•an+1=2•
=2(
+
++
+
)．（11分）
而
+
++
+
=1+
++
．
当k≥2时，
=
＜
=2(
-
)
∴1+
++
＜1+2[(
-
)+(
-
)++(
-
)]
=1+2(
-
)＜
，
∴(1+
)(1+
)(1+
)••(1+
)＜
．（14分）
∴Sn+n+2=2n+1，则Sn=2n+1-n-2，b1=1，（2分）
n≥2时，Sn-1=2n-n-1，∴Sn-Sn-1=2n-1，即bn=2n-1（n≥2），b1=1满足该式，故bn=2n-1．（4分）
（Ⅱ）证明：∵an=bn(
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
∴
| an |
| bn |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
∴
| an+1 |
| bn+1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn+1 |
| an |
| bn |
| 1 |
| bn |
| an+1 |
| bn |
∴
| an+1 |
| an+1 |
| bn |
| bn+1 |
（Ⅲ）证明；b1=1，b2=3，a1=1，a2=3，
当n=1时，左边=1+
| 1 |
| a1 |
| 10 |
| 3 |
当n≥2时，由（Ⅱ）知(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
=
| a1+1 |
| a1 |
| a2+1 |
| a2 |
| a3+1 |
| a3 |
| an+1 |
| an |
| a1+1 |
| a1a2 |
| a2+1 |
| a3 |
| a3+1 |
| a4 |
| an+1 |
| an+1 |
=
| 2 |
| 3 |
| b2 |
| b3 |
| b3 |
| b4 |
| bn |
| bn+1 |
=
| 2 |
| 3 |
| b2 |
| bn+1 |
| an+1 |
| bn+1 |
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
而
| 1 |
| b1 |
| 1 |
| b2 |
| 1 |
| bn-1 |
| 1 |
| bn |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
当k≥2时，
| 1 |
| 2k-1 |
| 2k+1-1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 2k+1 |
| (2k-1)(2k+1-1) |
| 1 |
| 2k-1 |
| 1 |
| 2k+1-1 |
∴1+
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 22-1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 23-1 |
| 1 |
| 24-1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
=1+2(
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n+1-1 |
| 5 |
| 3 |
∴(1+
| 1 |
| a1 |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| an |
| 10 |
| 3 |
点评：本题主要考查数列与函数，不等式的综合运用，主要涉及了求反函数，数列前n项和与通项的关系以及放缩法，裂项法等．
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