Question

已知数列{b_n}的前n项和S_n=

3

2

n²-

1

2

n．数列{a_n}满足（a_n）³=4^-（b_n+2）n∈N^*，数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（2）若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1，故可求数列{b_n}的通项公式，根据数列{a_n}满足（a_n）³=4^-（b_n+2），可得数列{a_n}的通项公式，从而可得c_n=a_nb_n=（3n-2）×4^-n，利用错位相减法可求数列的和；
（2）若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，则

1

4

m²+m-1≥（c_n）_max即可．

解答：解：（1）由已知得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=（

3

2

n²-

1

2

n）-[

3

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）]=3n-2（2分）
又b₁=1=3×1-2，符合上式，故数列{b_n}的通项公式为b_n=3n-2．
∵数列{a_n}满足（a_n）³=4^-（b_n+2），
∴（a_n）³=4^-3n，
∴a_n=4^-n，
∴c_n=a_nb_n=（3n-2）×4^-n，
∴T_n=1×4^-1+4×4^-2+…+（3n-2）×4^-n，①
∴

1

4

T_n=1×4^-2+4×4^-3+…+（3n-2）×4^-n-1，②
①-②得

3

4

T_n=4^-1+3[4^-2+4^-3+…+4^-n]-（3n-2）×4^-n-1=

1

2

-（3n-2）×4^-n-1，
∴T_n=

2

3

-

2n+2

3

×4^-n；                                   （6分）
（2）∵c_n=a_nb_n=（3n-2）×4^-n，
∴c_n+1-c_n=（3n+1）×4^-n-1-（3n-2）×4^-n=-9（n-1）×4^-n-1，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1＜c_n，∴（c_n）_max=c₁=c₂=

1

4

若c_n≤

1

4

m²+m-1对一切正整数n恒成立，则

1

4

m²+m-1≥

1

4

即可，
∴m²+4m-5≥0，
∴m≤-5或m≥1．                             （13分）

点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查恒成立问题，解题的关键是确定数列的通项，属于中档题．