Question

已知点P（x，y）是圆x²+y²-6x-4y+12=0上的动点，求：
（1）x²+y²的最值；
（2）x+y的最值；
（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设z=x²+y²，利用z的几何意义即可得到结论；
（2）设z=x+y，利用z的几何意义即可得到结论
（3）根据点到直线的距离公式即可得到结论．

解答： 解：x²+y²-6x-4y+12=0的标准方程为（x-3）²+（y-2）²=1，圆心为C（3，2），半径r=1，
（1）设z=x²+y²，则z的几何意义为圆上点到原点的距离的平方，
原点到圆心的距离d=

32+22

=

13

，
∴圆上的点到原点的最大距离为

13

+1，最小距离为

13

-1，
则z的最大值为（

13

+1）²=14+2

13

，
z的最大值为（

13

-1）²=14-2

13

．
（2）设z=x+y，即x+y-z=0，
在圆心C到直线x+y-z=0的距离满足d≤r，
即

|3+2-z|

2

≤1，
即|z-5|≤

2

，
解得5-

2

≤z≤5+

2

，
即x+y的最大值为5+

2

，最小值为5-

2

．
（3）圆心到直线x+y-1=0的距离d=

|3+2-1|

2

=

4

2

=2

2

＞1，
∴直线和圆相离，
∴P到直线x+y-1=0的距离d的最大值2

2

+1，
d的最小值为2

2

-1．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系以及两点间的距离公式，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力立意数形结合是解决本题的关键．本题也可以使用三角换元法进行求解．