Question

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4；将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出∠ABD=90°，∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，从而得到平面EBD⊥平面ABD，由此能够证明ED⊥AB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D为原点，以DB为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面ADE所成角正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵ABCD为平行四边形，
且∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°，
∴BD=

4+16-2×2×4× 1 2

=2

3

，
∴AB²+BD²=AD²，∴∠ABD=90°，
∵将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD，
∴∠EDB=∠CDB=∠ABD=90°，
∴平面EBD⊥平面ABD，
∴ED⊥平面ABD，∴ED⊥AB．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，
∴∠BDC=90°，故以D为原点，以DB为x轴，
以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=

16-4

=2

3

，
则B（2

3

，0，0），E（0，0，2），∵点F为BE的中点，∴F（

3

，0，1），
A（2

3

，-2，0），D（0，0，0），
∴

AF

=（-

3

，2，1），

DA

=（2

3

，-2，0），

DE

=（0，0，2），
设平面DAE的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

DA

=0，

n

•

DE

=0，
∴

2 3 x-2y=0 2z=0

，取x=1，得

n

=（1，

3

，0），
设直线AF与平面ADE所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

AF

，

n

＞|=|

- 3 +2 3 +0

8 • 4

|=

6

8

直线AF与平面ADE所成角正弦值为

6

8

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．