Question

9．已知关于实数x，y的二元一次不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）在右下图坐标系内画出该不等式组所表示的平面区域，并求其面积；
（Ⅱ）求$\frac{y}{x+1}$的取值范围；
（Ⅲ）求x²+y²的最小值，并求此时x，y的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）画出的可行域，求出角点坐标然后求其面积；
（Ⅱ）通过$\frac{y}{x+1}$的几何意义求解表达式的取值范围；
（Ⅲ）利用x²+y²的几何意义，求出最小值，并求此时x，y的值．

解答 解：实数x，y的二元一次不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}}\right.$的可行域如图：
（Ⅰ）平面区域是三角形，三角形的面积为：2×3-$\frac{1}{2}×2×1-$$\frac{1}{2}×3×1$-$\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）$\frac{y}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与Q（-1，0）连线的斜率，$\frac{y}{x+1}$∈[0，k_AQ]，
k_AQ=2，
$\frac{y}{x+1}$的取值范围：[0，2]；
（Ⅲ）x²+y²的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线距离的平方，可知O到AC直线的距离取得最小值，AC方程：2x+y-2=0，x²+y²的最小值：$（{\frac{2}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}）}^{2}$=$\frac{4}{5}$，过O与AC垂直的直线为：x-2y=0，由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力，注意目标函数的几何意义是解题的关键．