Question

20．已知点P为圆（x-2）²+y²=1上的点，直线l₁为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，l₂为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，P到l₁、l₂的距离分别为d₁、d₂，那么d₁d₂的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 设出点P的坐标为（2+cosθ，sinθ），求出点P到直线l₁、l₂的距离d₁、d₂，利用函数的性质求出d₁d₂的最小值．

解答 解：点P在圆（x-2）²+y²=1上，设P（2+cosθ，sinθ），
则点P到直线l₁：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距离为
d₁=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}（2+cosθ）-sinθ|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$，
点P到直线l₂：y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x的距离为
d₂=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}（2+cosθ）+sinθ|}{\sqrt{{（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}{+1}^{2}}}$，
∴d₁•d₂=$\frac{|{\frac{3}{2}cos}^{2}θ+2cosθ+1|}{\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$|$\frac{3}{2}$${（cosθ+\frac{2}{3}）}^{2}$+$\frac{1}{3}$|≥$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
当且仅当cosθ=-$\frac{2}{3}$时，d₁d₂取得最小值为$\frac{2}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆方程的应用问题，也考查了利用函数求最值的问题，是中档题．