Question

17．设点A、B的坐标分别为（-2，0），（2，0），直线AP与直线BP相交于点P，且它们的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若斜率为$\frac{1}{2}$的直线与（1）中的轨迹C交于不同的两点M，N，点Q的坐标为（0，1）．求证：△QMN的重心在一条定直线上．

Answer 1

分析 （1）设出点P的坐标，表示出直线AP、BP的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是-$\frac{1}{4}$，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点P的轨迹方程；
（2）设直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，利用韦达定理，求出重心坐标，即可得出结论．

解答 （1）解：设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）
所以k_AP=$\frac{y}{x+2}$（x≠-2），k_BP=$\frac{y}{x-2}$（x≠2）
由已知，$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$（x≠±2）
化简，得$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）
点P的轨迹方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．
（2）证明：设直线方程为y=$\frac{1}{2}$x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，可得x²+2bx+2b²-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-2b，y₁+y₂=b，
∵点Q的坐标为（0，1），
∴△QMN的重心（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{b+1}{3}$），
设x=-$\frac{2}{3}$b，y=$\frac{b+1}{3}$，消去b，可得3x+6y-2=0，即：△QMN的重心在一条定直线上．

点评 本题重点考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是正确表示出直线AP、BP的斜率．