Question

10．设定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，则f（f（-1））=0；函数y=f（f（x））的零点共有7个．

Answer 1

分析 利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令t=f（x），先求出函数f（x）的零点，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：f（-1）=-1+2=1，f（1）=|lg1|=0．
故f（f（-1））=f（1）=0，
若x＞0，则f（x）=|lgx|=0得x=1，
由x≤0，则由f（x）=-x²-2x=0得x=0或x=-2，
令t=f（x），
则y=f（f（x））=f（t），
由y=f（f（x））=f（t）=0
则t=1或t=0，或t=-2，
作出函数f（x）的图象，以及t=1或t=0，或t=-2，
则 t=1时，两个函数有3个交点，
当t=0时，两个函数有3个交点，
当t=-2时，两个函数有一个交点，
则共有7个交点，即函数y=f（f（x））的零点共有 7个，
故答案为：0，7；

点评 本题主要考查函数零点个数的判断以及分段函数的求值问题，利用换元法转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．