Question

设圆C位于抛物线y²=2x与直线x=3所围成的封闭区域（包括边界）内，则圆的半径能取到的最大值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、4-

  6

• C、4+

  6

• D、

  6

  -1

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C与直线x=3相切，设出圆的方程，与抛物线方程联立，进而利用圆C与抛物线相切，判别式为0，可求得结论．

解答： 解：当圆C半径取最大值时，由对称性知，
圆心C应在x轴上区间（0，3）内，且圆C与直线x=3相切，
设此时圆心为（a，0）（0＜a＜3），则圆C方程为（x-a）²+y²=（3-a）²?，
把y²=2x代入其中得，（x-a）²+2x=（3-a）²?，
即x²+2（1-a）x+6a-9=0，
∵圆C与抛物线相切，判别式△=[2（1-a）]²-4（6a-9）=0，
∴（1-a）²-6a+9=0，∴a²-8a+10=0，
∵0＜a＜3∴a=4-

6

，
∴圆C半径能取到的最大值为3-a=3-（4-

6

）=

6

-1．
故选D．

点评：本题以直线与抛物线为载体，考查圆与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．