Question

3．已知函数f（x）=3•2^x+$\frac{3}{{2}^{x}}$，x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）利用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）若f（x）≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可；
（3）问题转化为f（x）_min≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立即可．

解答 解：（1）∵f（x）=3•2^x+$\frac{3}{{2}^{x}}$=3（2^x+2^-x），
∴f（-x）=3（2^x+2^-x）=f（x），
∴函数f（x）为偶函数；
（2）利用单调性定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数．
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=3（2^x1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$）-3（2^x2+$\frac{1}{{2}^{{x}^{2}}}$）=3（2_x1-2_x2）+3•$\frac{{2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}}{{{2}^{{x}_{1}}2}^{{x}_{2}}}$=3（2_x1-2_x2） $\frac{{2}^{{x}_{1}}{•2}^{{x}_{2}}-1}{{{2}^{{x}_{1}}2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2^x1-2^x2＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上为增函数；
（3）若f（x）≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?f（x）_min≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?6≥k+log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?log₂$\frac{8}{m}$•log₂（2m）≤6-k（m＞0，k∈R）对任意的x∈R，任意的m∈（0，+∞）恒成立
?$\frac{{{（log}_{2}^{\frac{8}{m}}{+log}_{2}^{2m}）}^{2}}{4}$≤6-k
?$\frac{{（log}_{2}^{\frac{8}{m}•2m}）^{2}}{4}$≤6-k
?2≤6-k
?k≤2．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．