Question

如图，∠ACB=45°，BC=6过A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，沿AD将△ABD折起，组成三棱锥A-BCD，过点D作DE⊥平面ABC，且点E为三角形ABC的垂心．
（1）求证：△BDC为直角三角形．
（2）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大？并求出其最大值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接CE并延长，使CE∩AB=F，先证明出AB⊥CD和AD⊥DC，进而推断出CD⊥平面ABD，根据线面垂直的性质推断出CD⊥BD，即△BDC为直角三角形．
（2）设CD=x，表示出棱锥A-BCD体积的表达式，对其进行求导，令导函数等于0，求得x，把x代入体积表达式，求得体积的最大值．

解答： （1）证明：连接CE并延长，使CE∩AB=F，
∵点E为垂心，
∴AB⊥CF，
∵DE⊥平面ABC，
∴AB⊥DF，
∴AB⊥平面CDF，
∵CD?平面CDF，
∴AB⊥CD，
∵AD⊥BD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面BDC，
∵DC?平面BDC，
∴AD⊥DC，
∵AD?平面ABD，BD?平面ABD，AD∩BD=D，
∴CD⊥平面ABD，
∵BD?平面ABD，
∴CD⊥BD，即∠BDC=90°，
∴△BDC为直角三角形．
（2）设CD=x，所以AD=x，即三棱锥A-BCD的体积V=

1

6

x²（6-x），
V′=

1

6

（-3x²+12x）=-

1

2

x（x-4）
即当x=4时，三棱锥A-BCD的体积最大．Vmax=

16

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定和线面垂直的性质的应用，三棱锥体积的计算．考查了学生空间观察能力和运算能力．