Question

9．双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点在双曲线的顶点上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过M（-1，0）的直线l与抛物线C交于E，F两点，有过E，F作抛物线C的切线l₁、l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，求出a，即可求抛物线C的方程；
（2）利用过E，F作抛物线C的切线l₁、l₂，l₁⊥l₂，求出x₁x₂=-4，设出直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求直线l的方程．

解答 解：（1）∵双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}}$=5，
∵a＞0，
∴a=1，
∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点在双曲线的顶点，
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2，
∴抛物线C的方程x²=4y；
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
由x²=4y，可得y′=$\frac{1}{2}x$，
∵过E，F作抛物线C的切线l₁、l₂，l₁⊥l₂，
∴$\frac{1}{2}{x}_{1}•\frac{1}{2}{x}_{2}$=-1，
∴x₁x₂=-4．
设过M（-1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），
代入x²=4y，可得x²-4kx-4k=0，
∴x₁x₂=-4k
∴-4k=-4，
∴k=1，
∴直线l的方程为y=x+1．

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．