Question

4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F₁$（-\sqrt{5}{，^{\;}}0）$，点P位于该双曲线上，线段PF₁的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 设出双曲线的方程，据双曲线的焦点坐标列出三参数满足的一个等式；利用中点坐标公式求出P的坐标，将其坐标代入双曲线的方程，求出三参数的另一个等式，解两个方程得到参数的值．

解答 解：据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x轴上，
∵一个焦点为F₁$（-\sqrt{5}{，^{\;}}0）$，
∴a²+b²=5①
∵线段PF₁的中点坐标为（0，2），
∴P的坐标为（$\sqrt{5}$，4）将其代入双曲线的方程得$\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{16}{{b}^{2}}$=1②
解①②得a²=1，b²=4，
所以双曲线的方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：B．

点评 求圆锥曲线常用的方法：待定系数法、注意双曲线中三参数的关系为：c²=b²+a²．