Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且S_n=3n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n是数列{b_n}的前n项和，若

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中项，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列的和求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得a_n，验证n=1后得答案；
（Ⅱ）由

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中项得到b_n，然后利用裂项相消法求T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=3n²，
当n=1时，a₁=3．
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=6n-3（n≥2）．
验证n=1时上式成立．
∴a_n=6n-3；
（Ⅱ）∵

bn

是

1

an

，

1

an+1

的等比中项，
∴bn=

1

anan+1

=

1

(6n-3)(6n+3)

=

1

6

(

1

6n-3

-

1

6n+3

)．
∴Tn=

1

6

[(

1

3

-

1

9

)+(

1

9

-

1

15

)+…+(

1

6n-3

-

1

6n+3

)]
=

1

6

(

1

3

-

1

6n+3

)=

n

9(2n+1)

．

点评：本题考查了由数列的和求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．