题目内容
一个盒子装有大小相同的小球n个，在小球上分别标有1，2，3，…，n的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n的概率为
．
（Ⅰ）盒子中装有几个小球？
（Ⅱ）现从盒子中随机的取出4个球，记记所取4个球的号码中，连续自然数的个数最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=1，取1246时，ξ=2，取1235时，ξ=3）．
①求P（ξ=3）的值；
②求随机变量ξ的分布列及数学期望．
| 1 |
| 4 |
（Ⅰ）盒子中装有几个小球？
（Ⅱ）现从盒子中随机的取出4个球，记记所取4个球的号码中，连续自然数的个数最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=1，取1246时，ξ=2，取1235时，ξ=3）．
①求P（ξ=3）的值；
②求随机变量ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由已知得
=
，由此能求出n的值．
（Ⅱ）①利用互斥事件概率计算公式能求出P（ξ=3）．
②由题意知ξ=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．
| ||
|
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）①利用互斥事件概率计算公式能求出P（ξ=3）．
②由题意知ξ=1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）∵两球的号码最大值为n的概率为
，
∴
=
，解得n=8．
（Ⅱ）①P（ξ=3）=
=
．
②由题意知ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=3）=
=
．
P（ξ=4）=
=
，
P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
，
∴其分布列为：
∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=
．
| 1 |
| 4 |
∴
| ||
|
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）①P（ξ=3）=
| ||||||||
|
| 2 |
| 7 |
②由题意知ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=
| 5 | ||
|
| 1 |
| 14 |
P（ξ=3）=
| ||||||||
|
| 2 |
| 7 |
P（ξ=4）=
| 5 | ||
|
| 1 |
| 14 |
P（ξ=2）=1-P（ξ=1）-P（ξ=3）-P（ξ=4）=
| 4 |
| 7 |
∴其分布列为：
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 14 |
| 4 |
| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 1 |
| 14 |
| 33 |
| 14 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．
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