Question

（1）已知-1≤x＜2，求函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的值域
（2）已知f（x）=log₃x，x∈[1，9]，求函数y=f²（x）+f（x²）的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令3^x=t，求出t的范围，将函数转化为关于t的二次函数，配方，求出值域；
（2）令t=log₃x，求出t的范围，注意x²∈[1，9]，将函数转化为关于t的二次函数，配方，求出值域．

解答： 解：（1）∵-1≤x＜2，∴

1

3

≤3^x＜9，
令3^x=t，则y=3+6t-t²=-（t-3）²+12，
故当t=3∈[

1

3

，9），y取最大值，且为12，
当t=9时，y=12-36=-24，
故函数f（x）的值域为（-24，12]；
（2）∵f（x）=log₃x，x∈[1，9]，
∴y=f²（x）+f（x²）=（log₃x）²+log₃x²=（log₃x）²+2log₃x，
∴有x²∈[1，9]，则x∈[1，3]，
令t=log₃x∈[0，1]，则y=t²+2t=（t+1）²-1，
当t=0时取最小值0，当t=1时取最大值3．
故函数的值域为[0，3]．

点评：本题考查指数函数、对数函数的值域，考查换元法转化为二次函数求最值，注意定义域，是易错题．