Question

11．△ABC内接于半径为2的圆O，且3$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．
（1）分别求出△ABC三条边的长；
（2）若M是线段AC的中点，点P在线段MC上运动，$\overrightarrow{BQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{QC}$，求$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由3$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得-3$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$，两边平方解出$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，代入夹角公式求出cos∠BOC，再利用余弦定理求出BC，同理求出AB，AC；
（2）建立平面直角坐标系，写出各向量的坐标，代入数量积公式得出$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$，求出新函数的值域．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=2，∵3$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴-3$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$，∴9$\overrightarrow{OA}$²=4$\overrightarrow{OB}$²+16$\overrightarrow{OC}$²+16$\overrightarrow{OB}$$•\overrightarrow{OC}$，即36=16+64+16$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{11}{4}$．
同理：$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=-$\frac{7}{2}$．
∴cos∠BOC=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}$=-$\frac{11}{16}$，cos∠AOC=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OC}|}$=-$\frac{7}{8}$，cos∠AOB=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{1}{4}$．
在△AOB中，由余弦定理可得AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=6，∴AB=$\sqrt{6}$．
同理可得：BC=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，AC=$\sqrt{15}$．
（2）以OAx轴以O为原点建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），C（-$\frac{7}{4}$，-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）．
∴Q（-$\frac{1}{16}$，$\frac{5\sqrt{15}}{16}$）．∴$\overrightarrow{AQ}$=（-$\frac{33}{16}$，$\frac{5\sqrt{15}}{16}$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{9}{4}$，-$\frac{3\sqrt{15}}{4}$），$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{15}{4}$，$\frac{\sqrt{15}}{4}$）．
设$\overrightarrow{CP}$=λ$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{15λ}{4}$，$\frac{\sqrt{15}λ}{4}$）（0≤λ$≤\frac{1}{2}$）．则$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$=（$\frac{15λ-9}{4}$，$\frac{\sqrt{15}λ-3\sqrt{15}}{4}$）．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{297-495λ}{64}$+$\frac{75λ-225}{64}$=-$\frac{105}{16}$λ+$\frac{9}{8}$．
∴当λ=0时，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$取得最大值$\frac{9}{8}$，当λ=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$取得最小值-$\frac{69}{32}$．
∴$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AQ}$的取值范围是[-$\frac{69}{32}$，$\frac{9}{8}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系利用坐标进行计算是常用方法，属于中档题．