Question

1．已知数列{a_n}是首项为正数的等差数列，数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为${S_n}=\frac{n}{2n+1}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）由题意知，${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}={（-1）^n}[n（n+1）-1]$，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设数列{a_n}的公差为d，
令n=1，得$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{1}{3}$，所以a₁a₂=3．
令n=2，得$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}=\frac{2}{5}$，所以a₂a₃=15．
解得a₁=1，d=2，所以a_n=2n-1．
（II）由题意知，${b_n}={（-1）^n}{a_{\frac{n（n+1）}{2}}}={（-1）^n}[n（n+1）-1]$，
所以${T_{2n}}=-（1•2-1）+（2•3-1）-（3•4-1）+…+{（-1）^{2n}}[2n（2n+2）-1]$
=[-（1•2-1）+（2•3-1）]+[-（3•4-1）+（4•5-1）…+{-[2（n-1）•2n-1]+[2n（2n+2）-1]}
=4+8…+4n=$\frac{n（4+4n）}{2}=2{n^2}+2n$．

点评 本题考查了数列a_n与S_n的关系、等差数列的通项公式、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．