Question

2．设F为椭圆$\frac{x^2}{9}$+$\frac{y^2}{8}$=1右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i（i=1，2，3，…），使|FP₁|，|FP₂|，|FP₃|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是$[-\frac{1}{10}，0）∪（0，\frac{1}{10}]$．

Answer 1

分析 若这个等差数列是增数列，则a₁≥|FP₁|=3-1，a₂₁≤|FP₂₁|=3+1，又a₂₁=a₁+20d，可得0＜a₂₁-a₁=20d≤2，解得d范围．若这个等差数列是减数列，同理可得．

解答 解：若这个等差数列是增数列，则a₁≥|FP₁|=3-1，a₂₁≤|FP₂₁|=3+1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＜a₂₁-a₁=20d≤2，
解得0＜d≤$\frac{1}{10}$．
若这个等差数列是减数列，则a₁≤|FP₁|=3+1，a₂₁≥|FP₂₁|=3-1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＞a₂₁-a₁=20d≥-2，$-\frac{1}{10}$≤d＜0．
∴d的取值范围是$[-\frac{1}{10}，0）∪（0，\frac{1}{10}]$．
故答案为：$[-\frac{1}{10}，0）∪（0，\frac{1}{10}]$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、等差数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．