Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a=（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出．

解答： 解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，
由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，
∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2．
故选B．

点评：本题体现转化的数学思想，转化为以AD为直径的圆与边BC有交点，熟练掌握三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．