Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2sinAcosB=sin（B+C）．
（1）求角B的大小；
（2）设

m

=（sinA，1-2sin²A），

n

=（4k，1）（k∈R），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）利用A+B+C=π，得出sin（B+C）=sinA，可求cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（2）

m

•

n

=1-2sin²A+4ksinA=-2（sinA-k）²+2k²+1，注意到A∈(0，

2π

3

)，sinA∈（0，1]，对k分类讨论求解．

解答： 解：（1）∵2sinAcosB=sin（B+C）∴2sinAcosB=sinA，而sinA＞0，∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

．
（2）

m

•

n

=1-2sin²A+4ksinA=-2（sinA-k）²+2k²+1，
∵B=

π

3

．∴A∈(0，

2π

3

)，sinA∈（0，1]．
①当k≥1时，当且仅当sinA=1时，（

m

•

n

）_min=4k-1=5，k=

3

2

②当0＜k＜1时，当且仅当sinA=k时，（

m

•

n

）_min=2k²+1=5，k=±

2

，均不合要求．
③当k＜0时，无最大值．
综上所述，k=

3

2

．

点评：本题考查数量积的运算及其应用，三角函数知识的灵活运用，分类讨论的思想方法．