Question

8．双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线在第一象限交于点A，点O为坐标原点，点H满足$\overrightarrow{FH}$•$\overrightarrow{OA}$=0，$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OH}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用射影定理，确定c=$\frac{1}{2}$|OA|，可得∠AOF=60°，$\frac{b}{a}$=tan60°=$\sqrt{3}$，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由射影定理可得，|OF|²=|OH|•|OA|，
∵$\overrightarrow{OA}$=4$\overrightarrow{OH}$，∴c=$\frac{1}{2}$|OA|，
∴∠AOF=60°，
∴$\frac{b}{a}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=2，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查射影定理，考查学生的计算能力，属于中档题．