Question

（本小题满分12分）
如图，为椭圆上的一个动点，弦、分别过焦点、，当垂直于轴时，恰好有

(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设.
①当点恰为椭圆短轴的一个端点时，求的值；
②当点为该椭圆上的一个动点时，试判断是否为定值？
若是，请证明；若不是，请说明理由.

Answer 1

(1) (2)(3)

试题分析：（Ⅰ）法一：设，则.由题设及椭圆定义得
，消去得，所以离心率. ………………2分
法二：由椭圆方程得，又，，即，可求.
(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，，所以椭圆方程可化为.
①当A点恰为椭圆短轴的一个端点时，，直线的方程为.
由得，解得，
∴点的坐标为.
又，所以，，所以，. ………5分
②当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6.
证明：设，，则.
若为椭圆的长轴端点，则或，
所以.               ………………7分
若为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则由得，，所以.
又直线的方程为，所以由得
.
，∴.
由韦达定理得　，所以.　同理.
∴.
综上证得，当A点为该椭圆上的一个动点时，为定值6. ………………12分
法二：设，，则
∵，∴；            ………………6分
又①，②，将、代入②得：
 即③；
③①得：；                               ……………10分
同理：由得，∴，
∴.                                           ……………12分
点评：解决该试题的关键是能利用联立方程组的方法，结合韦达定理，以及判别式，来表示参数的值，进而结合函数的表达式化简求解为定值，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题。