Question

已知m>1，直线，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）.（Ⅱ）m的取值范围是（1，2）.

试题分析：（Ⅰ）因为直线经过点（，0），
所以＝，得.又因为m>1，所以，
故直线的方程为.
（Ⅱ）设，由，消去x，
得，
则由，知<8，
且有
由可知，
由题意可知，<0,
而＝（）（）＝，
所以<0，即 
又因为m>1且>0，从而1<m<2，
故m的取值范围是（1，2）.
点评：典型题，涉及椭圆标准方程问题，要求熟练掌握a,b,c,e的关系，涉及直线与椭圆的位置关系，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，利用韦达定理实现整体代换。