Question

3．已知sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，求下列各式的值：
（1）sinθcosθ；
（2）sin³θ-cos³θ；
（3）sin⁴θ+cos⁴θ．

Answer 1

分析 （1）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可得解．
（2）利用同角三角函数基本关系式及立方差公式即可得解．
（3）把sin⁴θ+cos⁴θ转化为含有sinθ•cosθ的代数式得答案；

解答 解：（1）∵sinθ-cosθ=$\frac{1}{2}$，
∴两边平方可得：1-2sinθcosθ=$\frac{1}{4}$，解得：sinθcosθ=$\frac{3}{8}$．
（2）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ）=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{3}{8}$）=$\frac{11}{16}$．
（3）sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2sin²θcos²θ=1-2×（$\frac{3}{8}$）²=$\frac{23}{32}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．