Question

12．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，则△MBC与△ABC的面积比为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABD，S_△AMB=$\frac{1}{5}$S_△ABE，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．

解答 解：M是△ABC所在平面内一点，连接AM，BM，
延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，
如图示：
∵5$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{AM}$-3$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{DE}$，
连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）
由于$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{AC}$，所以S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABD，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AE}$，所以S_△AMB=$\frac{1}{5}$S_△ABE，
在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故△ABM与△ABC的面积比=$\frac{{\frac{1}{5}S}_{△ABE}}{{\frac{1}{3}S}_{△ABD}}$=$\frac{3}{5}$，
故选：C．．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．