Question

18．若（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a_n（x-1）ⁿ，其中n∈N^*且a_n-2=112，a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n=3⁸．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式，以及且a_n-2=112，求得n的值，再在所给的等式中，令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a_n的值．

解答 解：（x+1）ⁿ=[2+（x-1）]ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a_n（x-1）ⁿ，
∵其中n∈N^*且a_n-2=${C}_{n}^{n-2}$•2²=${C}_{n}^{2}$•4=4•$\frac{n（n-1）}{2}$=112，∴n=8，
即（x+1）⁸=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…a₈（x-1）⁸，
令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…a₈=3⁸，
故答案为：3⁸．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．