Question

17．（1）求以A（-1，2），B（5，-6）为直径两端点的圆的方程
（2）点P（a，b）在直线x+y+1=0上，求$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用中点坐标公式求出AB的中点C的坐标，即为所求圆的圆心坐标．再利用两点间的距离公式求出半径AC之长，即可得到所求圆标准方程．
（2）首先将$\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}$的最小值转化为求点（1，1）到点P的距离的最小值，因为点P是直线x+y+1=0上的点，所以最小值即为点P到直线的距离．

解答 解：（1）设圆心为C（a，b），由A（-1，2）、B（5，-6），（2分）
结合中点坐标公式，得a=2，b=-2，可得C（2，-2）
∵|AC|=$\sqrt{（-1-2）^{2}（2+2）^{2}}$=5
∴圆的半径r=|AC|=5，（5分）
因此，以线段AB为直径的圆的方程是（x-2）²+（y+2）²=25．（7分）
（2）$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-1）}^2}}$的最小值为点（1，1）到直线x+y+1=0的距离
而$d=\frac{3}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，${（\sqrt{{a^2}+{b^2}-2a-2b+2}）_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

点评 本题着重考查了圆的标准方程、考查动点问题以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．