Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，抛物线y²=2px的焦点与F₂重合，若点P为椭圆和抛物线的一个公共点且cos∠PF₁F₂=$\frac{7}{9}$，则椭圆的离心率为$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．

Answer 1

分析 由P在抛物线上可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{7}{9}$，又|PF₁|+|PF₂|=2a，解得|PF₁|，|PF₂|．在△PF₁F₂中，利用余弦定理即可得出．

解答 解：由P在抛物线上可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{7}{9}$，
又|PF₁|+|PF₂|=2a，解得|PF₁|=$\frac{9a}{8}$，|PF₂|=$\frac{7a}{8}$．
△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠PF₁F₂=$\frac{\frac{81}{64}{a}^{2}+4{c}^{2}-\frac{49}{64}{a}^{2}}{2×\frac{9a}{2}×2c}$=$\frac{7}{9}$，
化简得8c²-7ac+a²=0，
∴8e²-7e+1=0，
解得e=$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．
故答案为：$\frac{{7±\sqrt{17}}}{16}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．