Question

13．若焦距为2的双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$上存在到y轴、x轴的距离之比为2的点P，则双曲线实轴长的取值范围为$0＜2a＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意把b用a表示，代入双曲线方程，设出P点坐标，代入双曲线方程，求出y²，再由y²≥a²列式求解．

解答 解：由题意知，2c=2，c=1，∴b²=c²-a²=1-a²，
则双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
由题意不妨设P（2y，y），则$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4{y}^{2}}{1-{a}^{2}}=1$，
解得：${y}^{2}=\frac{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}{1-5{a}^{2}}$，则$\frac{{a}^{2}（1-{a}^{2}）}{1-5{a}^{2}}≥{a}^{2}$，
∴$\frac{1-{a}^{2}}{1-5{a}^{2}}≥1$，即$\frac{4{a}^{2}}{1-5{a}^{2}}≥0$，解得0$＜a＜\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$0＜2a＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．