Question

已知函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．令g（x）=lnx+1+2mx，由于函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=

1

x

+2m．当m≥0时，直接验证；当m＜0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=-

1

2m

时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（-

1

2m

）＞0，解得即可．

解答： 解：f（x）=xlnx+mx²（x＞0），f′（x）=lnx+1+2mx．
令g（x）=lnx+1+2mx，
∵函数f（x）=x（lnx+mx）有两个极值点，
则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=

1

x

+2m，
当m≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当m＜0时，令g′（x）=0，解得x=-

1

2m

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜-

1

2m

，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞-

1

2m

，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=-

1

2m

时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（-

1

2m

）=ln（-

1

2m

）＞0，解得0＜-m＜

1

2

．
∴实数m的取值范围是（-

1

2

，0）．
故答案为：（-

1

2

，0）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．