Question

若定义在R上的单调减函数f（x）满足：f（a-2sinx）≤f（cos²x）对一切实数x∈[0，

π

2

]恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，当x∈[0，

π

2

]时，a≥-（sinx-1）²+2，利用二次函数的性质求得-（sinx-1）²+2的最大值，可得a的范围．

解答： 解：由题意可得，当x∈[0，

π

2

]时，a-2sinx≥cos²x 恒成立，即a≥-sin²x+2sinx+1=-（sinx-1）²+2．
由于sinx∈[0，1]，故当sinx=1时，-（sinx-1）²+2 取得最大值为2，∴a≥2，
故答案为：[2，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属基础题．