Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且首项a₁≠3，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求证：{S_n-3ⁿ}是等比数列；
（2）若{a_n}为递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），可得数列{S_n-3ⁿ}是公比为2，首项为a₁-3的等比数列；
（2）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，利用{a_n}为递增数列，即可求a₁的取值范围．

解答： 证明：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∵a₁≠3，
∴数列{S_n-3ⁿ}是公比为2，首项为a₁-3的等比数列；
（2）由（1）得S_n-3ⁿ=（a₁-3）×2^n-1，
∴S_n=（a₁-3）×2^n-1+3ⁿ，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∵{a_n}为递增数列，
∴n≥2时，（a₁-3）×2^n-1+2×3ⁿ＞（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∴n≥2时，2n-2[12×(

3

2

)n-2+a1-3]＞0，
∴a₁＞-9，
∵a₂=a₁+3＞a₁，
∴a₁的取值范围是a₁＞-9．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．