Question

【题目】在四棱锥中，，．为的中点．

（1）若点为的中点，求证：平面；

（2）当平面平面时，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【解析】

(1)利用线面平行的判定定理证明平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质即可得到平面；

(2) 以为坐标原点，分别以，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

证明：（1）连接，．由已知得，为等边三角形，．

∵，，由余弦定理可得：

∴

∴，∴

又∵平面，平面

∴平面

∵为的中点，为的中点，∴．

又∵平面，平面

∴平面．

∵，平面

∴平面平面．

∵平面，∴平面．

（2）取中点为，连接,

因为，，所以，．

∵平面平面，且交线为，，面

∴平面．

，，以为坐标原点，分别以，为轴，建立空间直角坐标系．

，，，，．

设，则可得

∵平面

∴平面的一个法向量为．

设平面的法向量为．

∵，

由得

取 得

设平面与平面所成锐二面角为，则

化简得：，解得(舍)，

∴．