Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）当时，求证：；

（Ⅱ）如果恒成立，求实数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1.

【解析】

（Ⅰ）求得 ，利用导数证明 在区间上单调递增， 从而可得；（Ⅱ）讨论三种情况：当时，由（Ⅰ）知符合题意；当时，因为，先证明在区间上单调递增，可得符合题意；当时，存在唯一使得，任意时，，不合题意，综合即可得结果.

（Ⅰ）因为，所以 .

当时，恒成立，所以 在区间上单调递增，

所以.

（Ⅱ）因为，

所以.

①当时，由（Ⅰ）知，对恒成立；

②当时，因为，所以.

因此在区间上单调递增，

所以对恒成立；

③当时，令，则，

因为，所以恒成立，

因此在区间上单调递增，

且，

所以存在唯一使得，即.

所以任意时，，所以在上单调递减.

所以，不合题意.

综上可知，的最小值为1.