Question

已知函数，其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（Ⅱ）若函数存在一个极大值和一个极小值，且极大值与极小值的积为，求的
值.

Answer 1

（Ⅰ）所求面积为. （Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ），    当时，，
，，所以曲线在处的切线方程为切线与轴、轴的交点坐标分别为，， 所以，所求面积为.
（Ⅱ）因为函数存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程在内存在两个不等实根，
.  ，则
设为函数的极大值和极小值，
则，，
因为，，所以，，
即，，，
解得，，此时有两个极值点，所以.
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（2）涉及方程实根的讨论及研究，运用了韦达定理，轻声道切线斜率，等于函数在切点的导函数值。