Question

15．点$M（{x_0}，\frac{3}{2}）$是抛物线x²=2py（p＞0）上一点，若点M到该抛物线焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为$\frac{\sqrt{21}}{2}$．

Answer 1

分析 先根据抛物线的方程求得准线的方程，利用点M到该抛物线的焦点的距离为2，根据抛物线的定义求得P，可得M的坐标，即可得到所求．

解答 解：依题意可知抛物线的准线方程为y=-$\frac{p}{2}$
∵点M（x₀，$\frac{3}{2}$）是抛物线x²=2Py（P＞0）上一点，点M到该抛物线的焦点的距离为2，
$\frac{p}{2}+\frac{3}{2}=2$，解得P=1．∴抛物线方程为x²=2y，
y=$\frac{3}{2}$时，x₀=±$\sqrt{3}$，∴点M到坐标原点的距离为$\sqrt{3+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{2}$

点评 本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属中档题．