Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求这个函数的图象在点x=1处的切线方程；
（2）求这个函数的极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用导数的几何意义能求出这个函数的图象在点x=1处的切线方程．
（2）由已知得f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，f（1）=0，
f′（x）=lnx+1，
∴k=f′（1）=1，
∴这个函数的图象在点x=1处的切线方程：y=x-1．
（2）∵f（x）=xlnx，∴x＞0，
由f′（x）=lnx+1＞0，得x＞

1

e

；由f′（x）＜0得，0＜x＜

1

e

，
∴函数f（x）=xlnx的增区间为（

1

e

，+∞），减区间为（0，

1

e

），
∴x=

1

e

时，f（x）取极小值f（

1

e

）=-

1

e

，无极大值．

点评：本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查切线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．